Problema de Basileia

A solução do problema de Basileia foi a primeira grande conquista de Leonhard Euler em 1735. Apesar de ser um problema de formulação simples, demorou quase 1 século para ser resolvido. Basileia é o nome da cidade onde Euler morava quando resolveu o problema.

O problema consiste em descobrir o valor soma infinita:

$$1 + \frac{1}{2^2} +\frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + ...$$

Que pode ser escrita também na forma:

$$1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + ...$$

Como chegar a um valor exato para a soma? É claro que se somarmos 'manualmente' poderemos obter um valor aproximado, já que a série converge para $1.6449340\cdots$

Euler atacou o problema numericamente e conjecturou que o valor da soma equivale a $\frac{\pi^2}{6}$. Posteriormente, conseguiu provar sua conjectura usando o método demonstrado neste artigo.

Para começar, devemos lembrar da expansão polinomial para a função seno de $x$. A expansão provém das séries de taylor: $$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + ...$$

A série acima nos permite calcular $\sin(x)$ para qualquer valor de $x$ (em radianos, não em graus). Quanto mais termos somarmos, mais exato será nosso valor. Caso você não conheça as expansões polinomiais, procure sobre "séries de taylor" (pretendo escrever sobre elas em breve).

Agora que temos a forma de somatório infinito para a função $\sin(x)$, vou apresentar a forma de produtório, onde a função seno é representada por um produto infinito de termos. Para isso, vamos observar a função seno e suas raízes:

As raízes (valores de $x$ para que o $\sin(x)$ seja $0$) ocorrem periodicamente. Podemos observar um padrão: elas se distanciam de $\pi$ em $\pi$, na forma:

$$\cdots, -3\pi, -2\pi, -\pi, 0 , \pi, 2\pi, 3\pi, \cdots$$

Vamos criar um produto infinito de termos, de modo que cada raiz da função $\sin(x)$ zere nossa nova fórmula. $$\left(1-\frac{x}{a}\right)\left(1+\frac{x}{a}\right)\left(1-\frac{x}{b}\right)\left(1+\frac{x}{b}\right)\left(1-\frac{x}{c}\right)\left(1+\frac{x}{c}\right)\cdots$$

A razão para o uso de $\left(1-\frac{x}{a}\right)\left(1+\frac{x}{a}\right)$ é que seu produto gera uma diferença de quadrados do modo $\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)$ em que qualquer valor de $x$ inserido (ex: $x = a$ ou $x = -a$ ou $x = b$ ou $x = -b$...) zerará um dos parênteses, e acarretará o valor $0$ para a equação inteira. Logo, criamos um produto infinito, que valerá $0$ para cada raiz.

Exemplo substituindo $x$ por $a$ ou $-a$ em: $(1-\frac{x^2}{a^2}) = 0$ resultará em $(1-\frac{a^2}{a^2}) = 0$ que é $1-1 = 0$ o que satisfaz a equação. Basta que um dos termos seja zero para que multiplique e anule todos os outros termos.

Se você ainda não estiver convencido, observe que qualquer termo dentro da sequência $a$ e $-a$, $2a$ e $-2a$, $3a$ e $-3a$, ... resultará em pelo menos um dos parênteses tendo valor zero, o que é suficiente para que toda a equação se iguale a zero: $$\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{(2a)^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{(3a)^2}\right)\cdots = 0$$

Substituindo $x$ por $a$, $-a$, $2a$, $-2a$, $3a$, $-3a$... resultará em um dos termos sendo $0$ e multiplicando toda a equação, prevalecendo 0 = 0.

Porém há um problema: já conseguimos representar as raízes $a$ e $-a$, $2a$ e $-2a$, $3a$ e $-3a$ ... mas e o $0$? (vimos que o zero também é raíz da função seno).

Calma, vamos primeiro montar nossa expansão em produtório, substituindo $a$ pelas raízes da nossa equação $\sin(x)$: $$\left(1-\frac{x}{\pi}\right)\left(1+\frac{x}{\pi}\right)\left(1-\frac{x}{2\pi}\right)\left(1+\frac{x}{2\pi}\right)\left(1-\frac{x}{3\pi}\right)\left(1+\frac{x}{3\pi}\right)\cdots$$

Efetuando a multiplicação par a par dos semelhantes $\left(1-\frac{x}{\pi}\right)\left(1+\frac{x}{\pi}\right)$ e assim por diante, obtemos: $$\left(1-\frac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{4\pi^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{9\pi^2}\right)\cdots$$

E claro, não podemos esquecer do $x=0$. Para que uma equação possua raiz $0$, basta multiplicá-la inteiramente por $x$. Assim quando $x$ vale 0, multiplicará toda a equação por $0$, transformando $x=0$ numa raiz da equação.

Apesar de ser uma construção bem intuitiva, não provamos realmente que a fórmula acima realmente representa a função $\sin(x)$ para qualquer valor de $x$, apenas montamos uma expressão que possui as mesmas raízes da função seno. Euler também não apresentou uma prova para isso, e é por tal motivo que, posteriormente, ele apresentou uma prova mais rigorosa para o problema de Basileia, que não envolvia este produtório infinito. A prova de que o produtório infinito realmente representa a função $\sin(x)$ será tratada no meu artigo sobre a função zeta.

$$\sin x = x\left(1-\frac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{4\pi^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{9\pi^2}\right)\cdots$$

Pronto, nossa expansão de produtório para a função $\sin(x)$. Agora estamos com as duas fórmulas: $$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + ...\tag{somatório}$$ $$\sin x = x\left(1-\frac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{4\pi^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{9\pi^2}\right)\cdots\tag{produtório}$$

Lembrando que queremos encontrar o valor de $1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + ...$ e que podemos encontrar algo semelhante na expansão $x\left(1-\frac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{4\pi^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{9\pi^2}\right)\cdots$ (observe a presença dos números $2$, $4$ e $9$).

Primeiro notamos que o $x$ da expansão em forma de produtório somente irá nos atrapalhar, então efetuando a divisão $\frac{\sin x}{x}$ obtemos: $$\frac{\sin x}{x} = \left(1-\frac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{4\pi^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{9\pi^2}\right)\cdots\tag {1}$$

E como estamos trabalhando com as mesmas funções, vou efetuar a mesma divisão na expansão em forma de somatório (você perceberá o motivo em breve): $$\frac{\sin x}{x} = 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + ...\tag{2}$$

Ambas as equações ($1$ e $2$) representam a mesma função, e por isso poderão ser igualadas no futuro, de modo que tudo que é coeficiente de $x$ em uma, tem que ser igual ao que é coeficiente de $x$ em outra. Tudo que é coeficiente de $x^2$ em uma, deve ser em outra, e assim em diante.

Expandindo ainda mais a multiplicação da equação $1$, além dos muitos termos que vamos obter (todas as combinações possíveis entre cada coeficiente da equação), obteremos a soma que provém de cada raiz multiplicada pelo 1, sendo assim: $$1 - \frac{x^2}{\pi^2} - \frac{x^2}{4\pi^2} - \frac{x^2}{9\pi^2} - ... - \frac{x^2}{n^2\pi^2} + ... (\mbox{outros termos})x^4 + \cdots $$

O que realmente nos interessa é a soma dos termos do tipo $\frac{x^2}{n^2\pi^2}$ que podem ser agrupados na forma: $$-\left(\frac{x^2}{\pi^2} + \frac{x^2}{4\pi^2} + \frac{x^2}{9\pi^2} + \cdots +\frac{x^2}{n^2\pi^2}\right)$$

Deixando em evidência o termo semelhante $x^2$ ficamos com: $$\cdots-x^2\left(\frac{1}{\pi^2} + \frac{1}{4\pi^2} + \frac{1}{9\pi^2} + \cdots +\frac{1}{n^2\pi^2}\right)+\cdots$$

Agora, embora não seja rigorosamente correto em algumas partes, podemos comparar os coeficientes de $x$ das duas formas de expansão (somatório e produtório). Todos os termos que multiplicam $x^2$ na expansão em forma de somatório devem ser iguais aos da expansão na forma de produtório. Lembrando as duas formas: $$...-x^2\left(\frac{1}{\pi^2} + \frac{1}{4\pi^2} + \frac{1}{9\pi^2} + \cdots +\frac{1}{n^2\pi^2}\right)+\cdots$$ $$\frac{\sin x}{x} = 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + \cdots\tag{somatório}$$

(observe que a primeira equação é a mesma forma de expansão do produtório apresentada pela primeira vez, porém mais desenvolvida para coletarmos os termos de $x^2$, que são os que nos importam)

O termo de $x^2$ na expansão de somatório é $-\frac{1}{3!}$, ou seja, $-\frac{1}{6}$. O coeficiente de $x^2$ na expansão de produtório é $-\left(\frac{1}{\pi^2} + \frac{1}{4\pi^2} + \frac{1}{9\pi^2} + ... +\frac{1}{n^2\pi^2}\right)$

Igualando os dois: $$-\left(\frac{1}{\pi^2} + \frac{1}{4\pi^2} + \frac{1}{9\pi^2} + ... +\frac{1}{n^2\pi^2}\right) = -\frac{1}{6} $$

Multiplicando os dois lados da equação por $-1$ e em seguida evidenciando o termpo $\frac{1}{\pi^2}$: $$\frac{1}{\pi^2}\left(\frac{1}{1} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + ... +\frac{1}{n^2}\right) = \frac{1}{6}$$

Por fim basta multiplicar os dois lados da equação por $\pi^2$ $$\left(\frac{1}{1} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + ... +\frac{1}{n^2}\right) = \frac{\pi^2}{6}$$

Chega-se ao resultado: $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$$

Referências:

(1) How Euler did it - Basel Problem

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