Paradox of Gabriel's Horn

The Gabriel's Horn paradox is based on the fact that the function $f(x) = \frac{1}{x}$, from $1$ to infinity has an infinite area, but a finite volume. This leads us to imagine that it would be needed inifite ink to 'paint' the interior surface of the horn. But a finite quantity of ink, when dumped inside the horn, would paint it completely. Of course this is just a mathematical conclusion, because ink is not infinitely divisible. However, in our calculations, we use infinetesimal quantities, called $dx$, which is a concept of calculus that theats infinitely divisible quantities.

Taking the volume of the solid of revolution for the function $\frac{1}{x}$

*Graph of $f(x)=\frac{1}{x}$

In our calculations, we'll generate the the horn by taking the graph from $1$ to $\infty$:

Then we'll rotate the graph about the $x$ axis to get the shape of the horn:

*image from wikipedia

The volume of this solid is given by the sum of little cilinders. Each one has the volume: height times perimeter of the cilinder of height dx.

Remember that the height of a cilinder is the length of a 'base' to the other, being $dx$ a little fraction of the $x$ axis. Summing these infinite little cilinders, is the same as integrating. We know that the volume of the cilinder is $\pi r^2$, where $r^2$ is the value of the function at that point. Then $r^2 = \frac{1}{x^2}$. We're left with:

$$V = \int_1^{\infty} \pi \frac{1}{x^2}dx $$

*we integrate from 1 because the function is not defined at $x=0$

An integral with bound at infinity is the same as $ \lim_{a\to\infty} \int_1^{a} \pi \frac{1}{x^2} dx$

Let $\pi$ out of the integral and find the antiderivative of $\frac{1}{x^2}$, that is $-\frac{1}{x}$. We get, then, from $1$ to $\infty$:

$$V = \pi\left(- \frac{1}{\infty} + \frac{1}{1}\right)$$

The volume tends to $\pi$, because $\frac{1}{\infty} \to 0$. Then, we have a finite volume.

Finding the area by surface of revolution:

To find the area of the horn's surface, we integrate $ds$ of the curve $\frac{1}{x}$, like is shown at the figure:

Rotate the graph around the $x$ axis, and we obtain the area of the cilinder with height $ds$. Multiply by the perimeter of the cilinder's base, which is $2\pi r$. Where $r$ is the value of the function at that point, the same as $f(x)$.

Integrate to sum up these infinite little cilinders:

$$\int_1^{\infty} (2\pi r) ds$$

Porém como $r = \frac{1}{x}$, devemos obter nosso $d$ em função de x. Então devemos modificar o $ds$ para $dx$, deste modo:

Observe que $ds$ é a composição de $dx$ e $dy$. Uma vez que podemos montar um triângulo, observamos no plano cartesiano que, aplicando o teorema de pitágoras, terminamos com:

$$ds^2 = dx^2 + dy^2$$

Agora vamos utilizar de um pequeno truque. A parte de $dy^2$ sozinho não nos ajuda muito com os cálculos. Mas sabemos que podemos calcular $\frac{dy^2}{dx^2}$, pois é $(\frac{dy}{dx})^2$. Ou seja, se transformarmos $dy^2$ em $\frac{dy^2}{dx^2}$, podemos continuar com nossos cálculos. Para isso, como nossa integral requer $ds$, basta calcular a raiz quadrada dos dois lados, resultando:

$$ds = \sqrt{dx^2 + dy^2}$$

O truque consiste em multiplicar os dois lados por $\frac{1}{dx}$: $$\frac{ds}{dx} = \sqrt{dx^2 + dy^2} \frac{1}{dx}$$

E então inserir o $dx$ na raiz. (lembre-se da propriedade: $\frac{\sqrt{y}}{x} = \sqrt{\frac{y}{x^2}}$), ficamos com:

$$\frac{ds}{dx} = \sqrt{\frac{dx^2}{dx^2} + \frac{dy^2}{dx^2}}$$

Multiplicando os dois lados por $dx$ e simplificando $\frac{dx^2}{dx^2}$:

$$ds = \sqrt{1 + \frac{dy^2}{dx^2}}\cdot dx$$

Sabemos que $\frac{dy^2}{dx^2}$ se trata da derivada da função $y = \frac{1}{x}$, que sabemos ser $\frac{dy}{dx} x^{-1}$, logo:

$$\frac{dy}{dx} x^{-1} = -\frac{1}{x^2}$$

$$ds = \sqrt{1 + {(-\frac{1}{x^2})}^2}\cdot dx$$

Terminamos com:

$$ds = \sqrt{1+\frac{1}{x^4}}\cdot dx$$

Voltando à integral $\int_1^{\infty} (2\pi r) ds$, subtituindo $ds$ pela nossa nova expressão, e $r$ por $f(x)$:

$$A = \int_1^{\infty} 2\pi \frac{1}{x} \sqrt{1 + \frac{1}{x^4}}\cdot dx$$

Fatorando $2\pi$:

$$A = 2\pi \int_1^{\infty} \frac{1}{x} \sqrt{1 + \frac{1}{x^4}}\cdot dx$$

Como $\sqrt{1 + \frac{1}{x^4}}$ é uma expressão sempre maior que $1$, isto é, não diminuirá seu coeficiente $\frac{1}{x}$, faremos um pequeno truque, ao comparar esta integral com uma de valor menor, porém parecida, mas que sabemos que é infinita, quando $x$ tende a infinito:

$$A = 2\pi \int_1^{\infty} \frac{1}{x} \sqrt{1 + \frac{1}{x^4}}\cdot dx \geq 2\pi \int_1^{\infty} \frac{1}{x} \cdot dx$$

A integral da direita é fácil de se resolver. Sabemos que $\int \frac{1}{x} = ln(x) + C$, então:

$$\int_1^{\infty} \frac{1}{x} dx = ln(\infty) - ln(1) = \infty$$

Ao comparar a integral original, com nossa integral de valor $\infty$, e sabendo que ela é maior, automaticamente resulta na conclusão de que nossa integral referente à área do trompete também tende a infinito. Provando assim que a área é infinita.

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